نظریه آشوب شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعه سامانه‌های پویای آشوب‌ناک می‌پردازد؛ سامانه‌هایی که بی‌نظمی آن‌ها، در ظاهر، تصادفی است اما در واقع، از الگوها و قوانین قطعی پیروی می‌کند که به‌شدت به شرایط اولیه حساسند. نظریه آشوب، دانشی میان‌رشته‌ایست که بر اساس آن، سامانه‌های پیچیده به‌ظاهر تصادفی، الگوها، درون‌پیوستگی‌ها، حلقه‌های بازخوردی، تکرار، خودهمانندی، فراکتال‌ها، و خودسازماندهی دارند. اثر پروانه‌ای، زیربنای نظریه آشوب است، و به توصیف این پدیده می‌پردازد که چگونه تغییرات بسیار کوچک در شرایط اولیه یک سامانه قطعی و غیرخطی، می‌تواند به تغییرات بزرگی در پاسخ سیستم بینجامد؛ یعنی وابستگی حساس به شرایط اولیه.استعاره‌ای از این رفتار، پروانه‌ای است که در تگزاس بال می‌زند و طوفانی در چین به‌پا می‌کند. تغییرات کوچک در شرایط اولیه، مانند تغییرات در اثر گرد کردن اعداد در محاسبات، می‌تواند باعث واگرایی گسترده خروجی‌های چنین سامانه‌هایی شده، به‌گونه‌ای که پیش‌بینی بلندمدت رفتارشان را در حالت کلی، غیرممکن می‌سازد.بااین‌که این‌گونه سامانه‌ها قطعی هستند، ممکن است چنین شود. قطعی بودن به این معناست که رفتار آینده‌شان از سیر تکاملی منحصربه‌فردی پیروی کرده،کاملاً وابسته به شرایط اولیه بوده، و هیچ اثری از رفتار تصادفی در آن دیده‌نمی‌شود.به بیانی دیگر، ماهیت قطعی این سامانه‌ها، باعث پیش‌بینی‌پذیری‌شان نمی‌شود.به این رفتار، آشوب قطعی یا تنها، آشوب می‌گویند. این نظریه را ادوارد لورنتس این‌گونه خلاصه کرد: آشوب، هنگامی‌ست که حال، آینده را تعیین می‌کند، اما حالِ تقریبی نتواند آینده را تقریبی تعیین کند. به زبان ساده حتی یک تغییر ناچیز در شرایط اولیه می‌تواند به نتایج غیرقابل پیش بینی نامحدودی منجر شود.رفتار آشوب‌ناک در بسیاری از سامانه‌های طبیعی دیده‌می‌شود؛ جریان سیالات، بی‌نظمی‌های تپش قلب، آب‌وهوا و اقلیم.همچنین این پدیده، در برخی سامانه‌ها با مؤلفه‌های مصنوعی، همچون بازار سهام و ترافیک جاده‌ها نیز خودبه‌خود رخ می‌دهد.این رفتار را می‌توان از راه تحلیل مدل ریاضیاتی، با کمک فنون تحلیلی چون نمودارهای بازگشتی و نگاشت‌های پوانکاره، مطالعه کرد. نظریه آشوب در رشته‌های گوناگونی مانند هواشناسی،انسان‌شناسی، جامعه‌شناسی،علوم محیطی، علوم رایانه، مهندسی، اقتصاد، بوم‌شناسی، مدیریت بحران همه‌گیری جهانی،و فلسفه کاربرد دارد. این نظریه، پایه رشته‌های علمی چون سامانه‌های پویای پیچیده، نظریه مرز آشوب و فرایندهای خودسامانی است.

پویانمایی از آونگ دو-میله‌ای که در انرژی میانی، رفتار آشوبناک دارد. وقتی شرایط آغازین آونگ کمی متفاوت شوند، مسیر حرکتش بسیار متفاوت خواهد شد. آونگ دو-میله‌ای یکی از ساده‌ترین سامانه‌های دینامیکی با پاسخ آشوب‌ناک است. ⬇️

چرا فنجان قهوه از نظر توپولوژی شبیه دونات است؟ این یکی از مشهورترین مثال‌های توپولوژی است. یک فنجان قهوه را تصور کنید که دسته دارد. یک دونات را هم در نظر بگیرید. در نگاه اول هیچ شباهتی به هم ندارند؛ اما از دید توپولوژی هر دو یک سوراخ دارند! می‌توان تصور کرد که فنجان را به‌آرامی و بدون پاره کردن یا چسباندن، تغییر شکل دهیم تا به دونات تبدیل شود. چرا؟ چون دسته فنجان و سوراخ وسط دونات، از نظر توپولوژیکی یک ویژگی مشترک دارند. به این دو جسم می‌گوییم «هم‌ریخت» (Homeomorphic). البته منظور از این تشبیه، فنجان توپر و دونات توپر نیست؛ منظور سطح هندسی آن‌هاست. چه چیزهایی در توپولوژی اهمیت دارند؟ به این شکل‌ها نگاه کنید: - کره: بدون سوراخ. - دونات: یک سوراخ. - دونات دوتایی: دو سوراخ. - دونات سه‌تایی: سه سوراخ. این تعداد، در طبقه‌بندی سطوح، با مفهومی به نام «جنس سطح» (Genus) ارتباط دارد. می‌توان سطحی را بسیار کشیده، خمیده یا موج‌دار کرد، اما اگر آن را پاره نکنیم یا به آن چیزی نچسبانیم، جنس توپولوژیکی‌اش تغییر نمی‌کند.