Телеграм канал «Математические байки»

картинки по выходным: stevejtrettel.site/research/algebraic-starscapes/

«Take every polynomial with integer coefficients up to some degree, find its complex roots, and draw a dot at each one. Size the dots so that simple polynomials get big dots and complicated ones get small dots, and measure sizes in the hyperbolic metric of the upper half plane. The result is a starscape: the plane fills with beaded necklaces of disks that subdivide it into ever finer regions, and around each large dot the smaller ones spiral like the arms of a galaxy.»

«What I like most about this project is, honestly, where it came from. We started by asking what made an image look interesting, without trying too hard to define interesting, and chasing that turned out to be a reliable path to mathematics. (…)»

см. тж. arxiv.org/abs/2008.07655

от длинного списка в github.com/openai/math/blob/main/overview.pdf глаза разбегаются, хочется выбрать несколько конкретных результатов оттуда… вот что ответил на такую просьбу сам chatgpt:

(Техническая оговорка самого ChatGPT: результаты получены не этой версией ChatGPT, а другой внутренней моделью.)

1. Десятая проблема Гильберта над ℚ. Утверждается, что не существует алгоритма, который по многочлену с целыми коэффициентами определяет, имеет ли он рациональный корень. Исходная десятая проблема Гильберта для целых чисел давно решена отрицательно; рациональная версия оставалась одной из центральных открытых задач диофантовой геометрии. Пока без Lean-формализации.

2. Шестнадцатая проблема Гильберта — число предельных циклов. Не вся проблема целиком, но знаменитый вопрос: существует ли для каждого d конечная граница H(d) на число предельных циклов плоского полиномиального векторного поля степени d? Каталог утверждает, что да. Общий результат пока не формализован; в Lean проверен только частный случай.

3. «Квази-гипотеза Римана». Для ζ(s) и всех функций Дирихле L(s, χ) утверждается отсутствие нулей в полуплоскости Re s > 7/8. Это, конечно, далеко не RH с критической прямой Re s = 1/2, но качественно гораздо сильнее известных областей без нулей, сужающихся к прямой Re s = 1. Этот результат формализован в Lean.

4. Гипотеза Ходжа для CM-абелевых многообразий. Утверждается рациональная гипотеза Ходжа для всех комплексных абелевых многообразий CM-типа, во всех размерностях и коразмерностях; в том же семействе — результаты для произведений K3-поверхностей. Если всё верно, последствия очень серьёзные: через теоремы Милна отсюда, в частности, получается гипотеза Тейта для всех абелевых многообразий над конечными полями. Это один из самых крупных, но пока не Lean-формализованных пунктов списка.

5. Unique Games Conjecture Хотта. Одна из центральных гипотез теории сложности и аппроксимационных алгоритмов: модель заявляет её положительное решение. Вместе с этим получаются точные пороги NP-трудности для ряда классических задач вроде Max-Cut и Vertex Cover. Основной результат есть в Lean.

6. Хроматическое число плоскости не меньше шести. В задаче Хадвигера—Нельсона надо раскрасить плоскость так, чтобы точки на расстоянии 1 имели разные цвета. До сих пор было известно 5 ≤ χ(ℝ²) ≤ 7; здесь утверждается, что пяти цветов недостаточно, так что остаются только 6 или 7. Причём без каких-либо предположений измеримости цветов. Формализация в Lean есть.

7. Контрпример к гипотезе Капланского о делителях нуля. Построена конечно заданная группа без кручения G, для которой групповая алгебра 𝔽₂[G] всё-таки имеет ненулевые делители нуля. Рядом в каталоге лежит целый пакет других контрпримеров к гипотезам о групповых алгебрах. Основной контрпример формализован.

8. Контрпример к гипотезе Уолла D(2). Уолл спрашивал: если конечный 3-мерный CW-комплекс X имеет «гомологически двумерное» универсальное накрытие и H³(X; M) = 0 для всех локальных систем коэффициентов M, обязан ли X быть гомотопически эквивалентен конечному 2-мерному CW-комплексу? Каталог заявляет отрицательный ответ. Пока без Lean.

9. Дискретное преобразование Фурье быстрее n log n. Заявлен точный алгоритм сложности O(n (log n)^(1−δ)), где δ = 10⁻¹³, то есть впервые пробивается классический рубеж FFT n log n — правда, в модели точной комплексной арифметики с довольно свободными коэффициентами. Пока без Lean.

10. Умножение целых чисел быстрее n log n. Для двух n-битных чисел заявлено O(n (log n)^(1−κ)), где κ = 2⁻¹⁸². Выигрыш совершенно микроскопический, но качественно это пересекает рубеж n log n и опровергает старую гипотезу Шёнхаге—Штрассена об оптимальности этого порядка в обычной многоленточной модели машины Тьюринга. Пока без Lean.

(Существенный дисклеймер: сама OpenAI подчёркивает, что результаты находятся на разных стадиях проверки, а часть
нефомализованных доказательств может содержать ошибки.)

По последней ссылке в сообщении выше — https://github.com/openai/math/tree/main/preprints — список результатов пунктов где-то на семьсот, при беглой прикидке (там список ненумерованный). Включая (!!!) вторую часть 16-й проблемы Гильберта (оценку на число предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени; утверждается, что равномерная оценка существует, при том, что раньше это не было известно даже для квадратичных векторных полей):
https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/uniform-bounds-for-planar-polynomial-limit-cycles-September-24-2026/uniform-bounds-for-planar-polynomial-limit-cycles-September-24-2026.pdf

ВрАГИ сожгли родную хату доказали гипотезу Артина о примитивных корнях (любое число примитивный корень по модулю многих простых), гипотезу Нагаты (о минимальной степени кривой с кучей особых точек общего положения), иррациональность числа Каталана, гипотезу Малера (про объёмы двойственных тел), гипотезу Капланского (о делителях нуля) и многое, многое, многое другое...