Жан-Оноре Фрагонар, «Качели» Как отрицательная обратная связь порождает колебания Теперь поменяем один знак: x′ = −αx + βy, y′ = −γx – δy. Творец по-прежнему реагирует на публику. Но публика теперь ведёт себя вреднее: чем заметнее попытка ей понравиться, тем быстрее она охлаждается. Отдаление, наоборот, возвращает интерес. Получается: одобрение → движение к публике → охлаждение → отход → новый интерес → снова движение к публике. Сюжет, в общем, небезызвестный. Возьмём x′ = −x + 2y, y′ = −2x − y. Пусть x(0) = 1, y(0) = 0. Творец сделал шаг к публике. Публика пока держит лицо. Исключаем y: x″ + 2x′ + 5x = 0. Получился обычный затухающий осциллятор. Решение: x(t) = e⁻ᵗ cos 2t, y(t) = −e⁻ᵗ sin 2t. В исходной системе не было ни синусов, ни внешней периодической силы. Никто не обязал публику раз в полгода менять вкус. Колебания породила сама структура обратной связи. В общем случае x′ = −αx + βy, y′ = −γx − δy даёт D = (α − δ)² − 4βγ. Поэтому колебания появляются, если 4βγ > (α − δ)². Одной взаимной несговорчивости мало. Связь должна быть достаточно сильной, а собственные темпы творца и общества — не слишком разными. И тогда система начинает раскачиваться сама. Пушкин: «Подите прочь — какое дело Поэту мирному до вас!» Лермонтов: «В меня все ближние мои Бросали бешено каменья». Окуджава: «То вместе, то поврозь, а то попеременно».

Жан Энгр, «Апофеоз Гомера» Когда успех начинает поддерживать сам себя Начнём с самого сговорчивого случая. Творец прислушивается к публике, а публика любит, когда к ней прислушиваются: x′ = −αx + βy, y′ = γx − δy, где α, β, γ, δ > 0. α и δ отвечают за затухание. Творец постепенно перестаёт жить вчерашними отзывами, публика — вчерашним восторгом. β и γ — за взаимное влияние. Два плюса дают положительную обратную связь: одобрение → движение навстречу публике → новое одобрение → ещё большее движение навстречу. В отрицательную сторону схема работает ничуть не хуже: неприятие рождает отдаление, отдаление — новое неприятие. Что победит: забывание или взаимное подталкивание? Для матрицы A = (−α  β;          γ  −δ) получаем det A = αδ − βγ. Так что сравнивать надо всего два произведения. Если βγ < αδ, забывание сильнее. Например, x′ = −2x + y, y′ = x − 2y. Собственные значения −1 и −3. Всё постепенно сходит на нет. Публика остывает, автор успокаивается. Если же βγ > αδ, обратная связь побеждает. Например, x′ = −x + 2y, y′ = 2x − y. Собственные значения 1 и −3. При x(0) = y(0) > 0: x(t) = y(t) = x(0)eᵗ. Успех начинает производить успех. Разумеется, eᵗ не обещает бесконечного числа поклонников. Оно сообщает более скромную вещь: линейная модель потеряла чувство меры. Дальше придётся учитывать насыщение, конкуренцию, скуку и смену моды. Граница проста: βγ = αδ. И ещё одна деталь. Здесь D = (α − δ)² + 4βγ > 0. Поэтому собственные значения всегда вещественны. Система с положительной обратной связью может затухать или разгоняться. Но сама такая связь колебаний не порождает. Для этого придётся испортить один плюс. Некрасов: «Спеша известности добиться, Боимся мы с дороги сбиться И тропкой торною идём…» Пушкин: «Восторженных похвал пройдёт минутный шум…»

Гюстав Курбе, «Мастерская художника» Творец и общество: математика обратной связи Есть ли что-то общее во взаимоотношениях автора и читателя, артиста и зрителя, политика и электората, производителя и потребителя? Вроде бы занятия разные. Но схема одна: одна сторона воздействует на другую — и тут же получает ответ. Автор меняет читателя, но отзывы, продажи, критика и даже демонстративное молчание читателя слегка меняют автора следующей книги. Такие замкнутые цепочки называют обратной связью. Возьмём творца и общество и построим модель, заведомо слишком простую. В этом её главное достоинство.  Пусть x(t) показывает ориентацию творца на общественный запрос: x > 0 — движение навстречу ожиданиям публики, x < 0 — движение от них. y(t) — реакция общества: y > 0 — одобрение, y < 0 — неприятие. В первом приближении: x′ = ax + by, y′ = cx + dy. Всего четыре коэффициента. a — что творец делает сам с собой. При a < 0 выбранная позиция со временем сглаживается. При a > 0, наоборот, чем дальше зашёл, тем охотнее идёшь дальше. b — влияние публики на творца. При b > 0 похвала тянет к публике, неодобрение — от неё. При b < 0 всё романтичнее: аплодисменты вызывают желание немедленно уйти в другую сторону. c — влияние творца на публику. При c > 0 попытка соответствовать ожиданиям публике нравится. При c < 0 публика капризнее: как только становится заметно, что ей стараются понравиться, ей уже не нравится. d — что общественное мнение умеет делать самостоятельно. При d < 0 восторг и негодование выдыхаются. При d > 0 репутация уже кормит сама себя: знаменитого хвалят немного раньше, чем успевают прочесть. Матрица A = (a b c d) не знает, хороши ли стихи. Она знает только правила реакции. Но этого достаточно, чтобы получить совсем разные истории: спокойное затухание, саморазгоняющийся успех, взаимное отторжение и даже периодические качели между творцом и публикой. А спор о том, какими должны быть эти коэффициенты, ведётся давно. Некрасов: «Поэтом можешь ты не быть, Но гражданином быть обязан». Маяковский: «Я хочу быть понят моей страной». Бродский: «Читатель мой, любитель перемен, ты слишком много требуешь взамен». Пушкин: «Хвалу и клевету приемли равнодушно…»