🎨 Une larme pour une goutte d'eau«دمعة مقابل قطرة ماء» لوحة للرسام الفرنسي لوس-أوليفييه ميرسون رسمها عام 1903، مستوحاة من رواية📖أحدب نوتردام لفيكتور هوغو . تصور اللوحة إزميرالدا وهي تسقي كوازيمودو، بعد أن عذب و تعرض للسخرية أمام الناس

إنما الأملُ هو الشيءُ الوحيدُ الذي ينبغي لي أن أخشاه. اختراع موريل | (أدولفو بيوي كاساريس)

حساب اللامدا (1) | عرضٌ أولي ​المُقَدّمة: ذَكَرنا فِيما سَلَف (Richard Montague) إرهاصاتِ هذا الحساب، ووطَّأنا بما يُمَكِّن العقل استيعاب كيف سيجري التطوُّر في حساب اللامدا الذي أسَّسه تشرتش ومهَّدَ لهُ أمثال موسىٰ شونفينكل (Schönfinkel) وهاسكل كاري (Haskell Curry). أمَّا الآن، فأُريد أن أُقرِّب هذا الحساب إلىٰ حيث يبلغ النهل؛ فقَرَّرْتُ وضع مقالاتٍ تنطلق من الأسس، ولن نتوقف حتىٰ نفهم البراهين التي في الصورة. ​1.1 إلىٰ حيث يرتدُّ أصل لامدا (λ): في المقامِ الأوَّل، استلهمَ تشرتش هذا الرمز لما بينه وبين رمز رَسِّل وهوايتهد المُستعمل في البرنكبيا (أيْ x̑‌) من حُلة تجريدية، فرَسِّل كان يستعمله للدلالة علىٰ مجموعة ما يُحقق صفة مُعينة، فَيقول: x̑.(x>0) للدلالة علىٰ مجموعة كل ما هو أكبر من الصفر، وهذا بحدِّ ذاته تجريد رياضي مُشابه لتجريد الدوال: تُجرَّد العبارة 1>0 من مُشخصاتها أولاً عبر المُتغيرات: x>0، إلا أن المُتغير لم يتخلَّص من لفت الانتباه إلىٰ المُشخصات إذ هوَ مُشخص مجهول؛ وعندما قرن رَسِّل العبارة بالمجموعة جعل المُتغير مجرَّداً أكثر، فَصَارَ أداة امتحان من حيث إنَّ: a>0≡a∈x̑.(x>0). وكما قلنا، يجري التجريد نفسه عند وضع دالة للعبارة: x+x، أيْ: F(x)=x+x (أو مجرداً عن الاسم كما سيأتي: λx.x+x)، وعلَّةُ التجريد هيَ انتقال الذهن من السؤال عن المُشخَّص المجهول إلىٰ العملية التي تأخذ x وتجمعه مع نفسه. عموماً، حينَ أراد تشرتش نقل هذا الرمز إلىٰ حسابه لم يجد في الطابعة ما يُعادل رمز البرنكبيا، لِهٰذا قَرَّر مبدئياً استعمال ∧ ومن أمامه المُتغير x، أيْ أنَّهُ نقلَ القبعة –إن صَحَّت التسمية– من أعلىٰ x إلىٰ جانبه. ثُمَّ استقرَّ أخيراً علىٰ لامدا "λ". ​1.2 سلب الأسماء عن الدوال: تسميةُ الدوالِ (مثل F أو G...) أمرٌ عرضيٌّ لا يُشَكِّل جوهرها بحدِّ ذاته، فجوهرُ الدالة حقيقةً (علىٰ فرض أنها F(x)=1+x) هو أخذُ المتغير x وإرجاعه مجموعاً مع الواحد، ودليلُه أن إبدال اسمها من F إلىٰ G لا يعني إلا أننا أمام نفس الدالة. ثُمَّ إذا تَقرَّرَ هذا، كان إدخال الأسماء إلىٰ حساب اللامدا عدم اقتصادٍ وإشغالاً غير مجدٍ للذهن في ملاحقة تبدُّل السلوكيات عند تبدِّل الأسماء، فَنُزِعت من الدوال أسماؤُها في هذا الحساب. ​1.3 الدالة بذاتها: إذا كانت M عبارة رياضية (مثل x+x أو غير ذٰلك، تُسمَّىٰ جسم الدالة)، وكان x مُتغيراً، فإنَّ التعبير: λx.M يُقرأ: الدالة التي تأخذ المُدخل x وتُعيد المُخرج M. الجزء λx يُسمَّىٰ في حسابِ اللامدا: رأس الدالة وهو يشير إلىٰ أننا بصدد إنشاء دالة (والفرق الجوهري بينه وبين الاسم في الجبر التقليدي أن F(x) يُساوي قولك بتطبيق ما تَعِد به الدالة علىٰ المُتغير x، أو علىٰ الأقل: اسم الدالة يُساوي سلوكها. أما الجزء λx فبحدِّ ذاته لا يُستنبط منه السلوك). أمَّا M فهو الجسم. والنقطة تفصل بينهما. كلُّ دالة سَتكون علىٰ هذه الصورة. لِنأخذ هذه الأمثلة التي ترصُّ الفقرة 1.2 مع ما سبق هنا: F(x)=x+2 G(x)=x هذه الدوال واضحة في الصيغة التقليدية، الأولىٰ تأخذ x وتجمعهُ مع 2، أي إذا اعطيتها 2 كان الناتجُ 4؛ أما الثانية فَتُعيدُ لكَ نفس المُدخل. كيف سنكتب ما سبق في حسابِ اللامدا؟ أولاً نُجرِّد الدالة من اسمها؛ إذ "الدالة لا اسم لها": λx λx (هذا الشكل خاطئ نحوياً ولكن نورده لغرض التبسيط) الآن الجسم M، قُلنا إنَّه التعبير الرياضي (ولن ننسىٰ النقاط)، اذن: λx.(x+2) λx.x هكذا نكون قد عَبَّرنا عَمَّا سبقَ بحساب اللامدا. (سَنرىٰ لاحقاً أن الأعداد والعمليات هي دوال خالصة) ​1.4 استدراك علىٰ الفقرة السابقة: قُلنا في الفقرة 1.3: كُلُّ دالةٍ سَتكونُ علىٰ هذه الصورة، ولكن الصورة: λx.M تَقْبل مُتَغيّراً واحداً، إذن فَكيف سنُعبِّر عن الدوال التي تتطلب مُتغيرين مثل دالة الجمع؟ [F(x,y)=x+y] هُنا يُقدِّم موسىٰ شونفينكل مفهوماً مُهمّاً (طَوَّرَهُ كاري) وهو الإرداف (Currying)، ويقوم علىٰ جعل جسم الدالة دالةً أخرىٰ تنتظر المُدخل الثاني: λx.(λy.M) حيث إنَّ M بالنسبة للدالة λy سيكون x+y، ولعلَّ الصورة قد اتضحت، ونُوضِّح بلهجة قديمة: لديك دالة تأخذُ x فَتُعيدُ: F(y)=x+y، أي إذا كان المُدخل 4 فَهيَ سَتعيدُ الصيغة السابقة لكن وقد وضع 4 بَدلاً من x؛ فَيكونُ ناتج F(y) بعد إدخال 5 (مثلاً) هو 9. ​1.5 العبارات المقبولة أو السليمة نحوياً في حسابِ اللامدا: سنفترض أن V مجموعةٌ غير مُنتهية (وقابلة للعدِّ) من أسماء المُتغيرات (x,y,f...)، وهي مُتغيرات يختلفُ ما تُشير إليه بحسبِ السياق (في حساب اللامدا النقي مثلاً لا تُشير إلا إلىٰ دوال). القواعد التي تُحدِّد مجموعة العبارات (رمزها Λ) السليمة نحوياً استقرائياً (بنائياً، أي الاستقراء الرياضي لا المَنْطقي): إذا كانَ x ∈ V فإنَّ x ∈ Λ. إذا كانَ x∈V وكانت M ∈ Λ فإنَّ λx.M∈Λ. بقيت قاعدة التطبيق، سَنعرضها في المقال القادم لتُفهَمَ من سياقها.