Телеграм канал «Математика с нуля»

Интуитивно не так сложно понять это и прийти к этой формуле.

Если посмотреть на числа n:

1≤n<10 => 1 цифра
10≤n<100 => 2 цифры
100≤n<1000 => 3 цифры
10^(q-1)≤n<10^(q) => q цифр.

И тут хотелось бы как-то перейти от степени 10 к показателю 10, тк этот показатель и есть q. Вспоминаем, что log(n,n)=1. Отсюда мысль о том, что тут нужен логарифм. А мысль, почему нужна функция антье, ввиду того, что нам нужны целые части получаемых чисел от log(10,n). Так мы и приходим к тому, что n может быть аргументом функции функции [log(10,n)] и если рассмотреть при тех же n:

1≤n<10 => [log(10,n)]=0
10≤n<100 => [log(10,n)]=1
100≤n<1000 => [log(10,n)]=2
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]=q-1

остается добавить 1 и получится искомое количество цифр

1≤n<10 => [log(10,n)]+1=1
10≤n<100 => [log(10,n)]+1=2
100≤n<1000 => [log(10,n)]+1=3
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]+1=q.

Пусть n ∈ N. Тогда количество цифр q в десятичной записи числа n вычисляется по формуле

q=[log(10,n)]+1.

Доказательство. Если натуральное число состоит из q цифр, то оно ограничено снизу наименьшим q-значным числом и строго ограничено сверху наименьшим (q+1)-значным числом. Наименьшее q-значное число равно 10^(q-1), а наименьшее (q+1)-значное число равно 10^q. То есть верно следующее двойное неравенство:

10^(q-1) ≤ n ≤ 10^q

Применим логарифмическую функцию по основанию 10 ко всем частям двойного неравенства:

q-1 ≤ log(10,n) ≤ q

Знак сохранился ввиду того, что основание логарифмической функции больше 1 и она строго монотонно возрастающая на всей области определения.

Обратимся к определению функции антье (нижняя целая часть числа):
для любого действительного числа x его нижняя целая часть — это такое наибольшее целое число m, что выполняется условие:

m ≤ x ≤ m+1

Перепишем наше равенство в эквивалентном виде:

q-1 ≤ log(10,n) ≤ (q-1)+1

Видно, что оно точно совпадает с определением функции антье, где роль x играет log(10,n), а роль целого числа m играет (q-1).
Следовательно, по определению:

[log(10,n)]=q-1 <=> q=[log(10,n)]+1

Тоерема доказана.

Заметим, что 0.04=0.2^2, тогда выражение имеет вид t^2-4t, где t=(0.2)^x, t^2=(0.2)^2x.
Более того, h(t)=t^2-4t=(t-2)^2-4, где график функции h(t) — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в t=2.

Оценим аргументы:
Пусть x_1=sqrt(5)-sqrt(10), x_2=sqrt(6)-sqrt(11)
sqrt(5)-sqrt(10) and sqrt(6)-sqrt(11)
sqrt(5)+sqrt(11) and sqrt(6)+sqrt(10)
16+2*sqrt(55) and 16+2*sqrt(60)
2*sqrt(55) < 2*sqrt(60) => sqrt(5)-sqrt(10) < sqrt(6)-sqrt(11) <=> x_1<x_2.

Рассмотрим функцию u(x)=(0.2)^x — строго убывающая функция, так как f(x)=a^x, a ∈ (0;1) — строго убывающая функция. Тогда x_1<x_2<0 => u(x_1)>u(x_2)>u(0)=1 => t_1>t_2>1.

Важно заметить, если бы вершина параболы была в точке t_0<=1, то можно было закончить решение и сказать, что x_1<x_2<0 => u(x_1)>u(x_2)>1 => t_1>t_2>1 => h(t_1)>h(t_2) => A>B, так как функция h(t) была бы строго возрастающая на промежутке от (t_0; +infy), но ввиду того, что t_0=2, и на промежутке (-infty;2) она строго убывающая могут быть такие варианты:

2>u(x_1)>u(x_2)>1 => 2>t_1>t_2>1 => h(t_1)<h(t_2) => A<B;
u(x_1)>2>u(x_2)>1 => t_1>2>t_2>1 => A ? B — здесь мы вообще не уверены, что больше, так как они на разных участках монотонности;
u(x_1)>u(x_2)>2 => t_1>t_2>2 => h(t_1)>h(t_2) => A>B.

То есть мы не может дать однозначный ответ, поэтому нужно проверить, что u(x_2)>2, т. е. t_2>2 (или первый случай).

Проверим u(x_2)=0.2^[sqrt(6)-sqrt(11)]>2:

0.2^[sqrt(6)-sqrt(11)]=5^(-1*[sqrt(6)-sqrt(11)])=5^[sqrt(11)-sqrt(6)]. То есть
5^[sqrt(11)-sqrt(6)]>2.
5^1/2>4^1/2=2, то есть достаточно доказать, что sqrt(11)-sqrt(6)>1/2.
sqrt(11)>1/2+sqrt(6)
11>6.25+sqrt(6)
4.75>sqrt(6)
4.75^2>6
22.5625>6 что верно.

То есть
sqrt(11)-sqrt(6)>1/2, следовательно 5^[sqrt(11)-sqrt(6)]>5^1/2>2.

Итог: u(x_1)>u(x_2)>2 => t_1>t_2>2. Поэтому выполняется третий вариант и A>B.

интересная задачка

для гениев: без калькулятора