Телеграм канал «Математика с нуля»

Большинство людей воспринимают мир дискретно, набором отдельных фактов. Но математик видит структуры. Представьте себе хаотичное движение толпы. Для обывателя это шум. Для математика это может быть динамическая система, поток или распределение вероятностей. Там, где один видит сложность, другой находит инвариант — нечто неизменное, сохраняющееся даже при глубоких преобразованиях. Возьмем фундаментальное понятие предела. В этой лаконичной записи скрыта великая жизненная философия. Она говорит нам: «Не так важно, где ты находишься в конкретный момент времени n. Важно то, к чему ты неуклонно приближаешься». Наше поведение в долгосрочной перспективе определяет нашу «точку сходимости». Не бойтесь трудностей. Если задача не решается — это прекрасно. Это значит, что ваш мозг столкнулся с границей своих текущих возможностей. И именно в момент преодоления этой границы происходит подлинный рост.

Математика часто кажется набором правил и техник, но по-настоящему она начинается там, где правила перестают быть очевидными. В школе нас учат «решать задачи», но почти не говорят, что каждая задача это маленькое столкновение с неизвестным, где важно не столько получить ответ, сколько понять, что вообще считается ответом. В этом смысле математика ближе к философии, чем принято думать. Она не столько про числа, сколько про границы мышления. Что можно доказать? Что считается существующим? Почему из одних и тех же аксиом неизбежно следуют именно эти выводы, а не другие? И что происходит, если аксиомы слегка изменить? Интересно, что самые важные открытия в математике часто начинаются с сомнения в «очевидном». Евклидова геометрия держалась две тысячи лет, пока кто-то не задал странный вопрос: а что, если параллельные прямые ведут себя иначе? И мир не рухнул, но наоборот, он стал шире. Оказалось, что истина может быть множественной, но строго определённой в каждом своём контексте. Математика учит редкому навыку: принимать ограничения добровольно. Мы соглашаемся играть по заданным правилам = аксиомам, определениям и внутри них получаем абсолютную свободу мышления. Парадоксально, но именно строгость делает возможной глубину. Возможно, главная философская ценность математики в том, что она приучает к честности. Здесь нельзя «почти доказать» или «в целом понять». Либо аргумент работает, либо нет. И в этом безжалостном свете становится яснее не только устройство абстрактных объектов, но и качество собственного мышления.

Вспоминаем легендарный момент с В. И. Арнольдом

В фильме рассказывается, как проблема размерных подгрупп была решена за несколько дней до конца света, как пожилой Гупта случайно встретил в МГУ молодого студента, который через 10 лет опровергнет монументальный труд всей его жизни, как Воеводский зачинал драку в индийском поезде, а Баумслаг с сумасшедшим жонглёром занимались комбинаторной теорией групп

Давайте сравним сознание со шкалой термометра. Введем 20-градусную шкалу: 10 градусов выше ноля и 10 градусов ниже. Деления выше ноля обозначают степень бодрствования, а ниже — степень сна. Мы знаем, что существуют различные степени глубины сна. Они не имеют определений и классификации, которые можно было бы использовать на практике. Никогда не принимается во внимание то обстоятельство, что наряду с существованием различных степеней глубины сна существуют также различные степени бодрствования. Человек в процессе своей обычной деятельности может быть более бодрствующим или менее бодрствующим. Мы пытаемся поднять сознание на пьедестал как самое важное качество человека. В действительности единственное истинно человеческое качество, отличающее людей от животных, — это сознание. Чем сознательнее человек, тем дальше он от животно­го, и наоборот. Многие люди довольствуются состоянием разумных животных, и им не зазорно быть бессознательными. Но те, кто способен мыслить объективно и реалистично, согла­сятся с важностью повышения уровня человечности. К сожалению, социальная структура делает все возможное, чтобы удержать человека в состоянии сна. Сегодня во всем мире приветст­вуется то, что способствует сну, и порицается все, ведущее к про­буждению. Мы представляем собой расу «богов», ведущих себя как животные.

Математический анализ Прообраз элемента, прообраз множества