Телеграм канал «Математика с нуля»

Заметим, что 0.04=0.2^2, тогда выражение имеет вид t^2-4t, где t=(0.2)^x, t^2=(0.2)^2x.
Более того, h(t)=t^2-4t=(t-2)^2-4, где график функции h(t) — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в t=2.

Оценим аргументы:
Пусть x_1=sqrt(5)-sqrt(10), x_2=sqrt(6)-sqrt(11)
sqrt(5)-sqrt(10) and sqrt(6)-sqrt(11)
sqrt(5)+sqrt(11) and sqrt(6)+sqrt(10)
16+2*sqrt(55) and 16+2*sqrt(60)
2*sqrt(55) < 2*sqrt(60) => sqrt(5)-sqrt(10) < sqrt(6)-sqrt(11) <=> x_1<x_2.

Рассмотрим функцию u(x)=(0.2)^x — строго убывающая функция, так как f(x)=a^x, a ∈ (0;1) — строго убывающая функция. Тогда x_1<x_2<0 => u(x_1)>u(x_2)>u(0)=1 => t_1>t_2>1.

Важно заметить, если бы вершина параболы была в точке t_0<=1, то можно было закончить решение и сказать, что x_1<x_2<0 => u(x_1)>u(x_2)>1 => t_1>t_2>1 => h(t_1)>h(t_2) => A>B, так как функция h(t) была бы строго возрастающая на промежутке от (t_0; +infy), но ввиду того, что t_0=2, и на промежутке (-infty;2) она строго убывающая могут быть такие варианты:

2>u(x_1)>u(x_2)>1 => 2>t_1>t_2>1 => h(t_1)<h(t_2) => A<B;
u(x_1)>2>u(x_2)>1 => t_1>2>t_2>1 => A ? B — здесь мы вообще не уверены, что больше, так как они на разных участках монотонности;
u(x_1)>u(x_2)>2 => t_1>t_2>2 => h(t_1)>h(t_2) => A>B.

То есть мы не может дать однозначный ответ, поэтому нужно проверить, что u(x_2)>2, т. е. t_2>2 (или первый случай).

Проверим u(x_2)=0.2^[sqrt(6)-sqrt(11)]>2:

0.2^[sqrt(6)-sqrt(11)]=5^(-1*[sqrt(6)-sqrt(11)])=5^[sqrt(11)-sqrt(6)]. То есть
5^[sqrt(11)-sqrt(6)]>2.
5^1/2>4^1/2=2, то есть достаточно доказать, что sqrt(11)-sqrt(6)>1/2.
sqrt(11)>1/2+sqrt(6)
11>6.25+sqrt(6)
4.75>sqrt(6)
4.75^2>6
22.5625>6 что верно.

То есть
sqrt(11)-sqrt(6)>1/2, следовательно 5^[sqrt(11)-sqrt(6)]>5^1/2>2.

Итог: u(x_1)>u(x_2)>2 => t_1>t_2>2. Поэтому выполняется третий вариант и A>B.

интересная задачка

для гениев: без калькулятора

мб кому-то понятнее так будет

Пусть t(x)=|x-a-1|+|x-a+1|. Геометрически на вещественной прямой эта сумма расстояний от переменной точки х до фиксированных точек a+1 и a-1. Расстояние между этими точками равно 2. В силу кусочно-линейного анализа, получим, что минимум этой функции достигается на отрезке [a-1;a+1] и равен 2. То есть:

Для любого x ∈ [a-1;a+1] значение t(x)=2. Это означает, что на данном промежутке несчетное множество решений.
Вне этого отрезка функция строго монотонна по обе стороны. Таким образом, для любого значения T>2 будет ровно два решения (что нам и нужно), для T<2 ноль решений.

Сделаем замену и получим квадратное уравнение относительно t:

P(t)=t^2+at+a^2-16=0.

Нужно чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня x. А это возможно тогда и только тогда, когда полином P(t) имеет ровно один корень строго больше 2, а остальные корни (если они есть) строго меньше 2.

Первый случай. Пусть корни различны, один строго больше 2, другой строго меньше 2. Так как старший коэффициент параболы положителен, корни будут лежать по разные стороны от точки t=2 тогда и только тогда, когда значение полинома в этой точке отрицательно.

P(2)=2^2+2a+a^2-16=a^2+2a-12.

Требуем P(2)<0:

a^2+2a-12<0 => (a+1)^2-13<0 => a ∈ (-1-sqrt(13);-1+sqrt(13)).

Второй случай. Есть один корень и этот корень строго больше 2.
Найдем дискриминант D=64-3a^2.
Он должен быть равен нулю 64-3a^2=0 => a=+-8/sqrt(3).
При D=0 единственный корень полинома равен t_0=-a/2. Проверим оба значения параметра:
a=8/sqrt(3), t_0=-4/sqrt(3)<2 — не подходит.
a=-8/sqrt(3), t_0=4/sqrt(3)>2 — подходит.

Объединим результат из двух случаев, получим:

a ∈ (-1-sqrt(13); -1+sqrt(13)) ∪ {-8/sqrt(3)}

Ответ: a ∈ (-1-sqrt(13); -1+sqrt(13)) ∪ {-8/sqrt(3)}.

Кстати, эту задачу на ЕГЭ решило всего лишь 2% учеников. Понимаю, задача сложная, но чтобы настолько 💀

(|x - a - 1| + |x - a + 1|)^2 + a(|x - a - 1| + |x - a + 1|) + a^2 - 16 = 0

При каких a уравнение имеет ровно два разных корня?