Телеграм канал «Математика с нуля»

Интуитивно не так сложно понять это и прийти к этой формуле.

Если посмотреть на числа n:

1≤n<10 => 1 цифра
10≤n<100 => 2 цифры
100≤n<1000 => 3 цифры
10^(q-1)≤n<10^(q) => q цифр.

И тут хотелось бы как-то перейти от степени 10 к показателю 10, тк этот показатель и есть q. Вспоминаем, что log(n,n)=1. Отсюда мысль о том, что тут нужен логарифм. А мысль, почему нужна функция антье, ввиду того, что нам нужны целые части получаемых чисел от log(10,n). Так мы и приходим к тому, что n может быть аргументом функции функции [log(10,n)] и если рассмотреть при тех же n:

1≤n<10 => [log(10,n)]=0
10≤n<100 => [log(10,n)]=1
100≤n<1000 => [log(10,n)]=2
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]=q-1

остается добавить 1 и получится искомое количество цифр

1≤n<10 => [log(10,n)]+1=1
10≤n<100 => [log(10,n)]+1=2
100≤n<1000 => [log(10,n)]+1=3
10^(q-1)≤n<10^(q) => [log(10,n)]+1=q.

Пусть n ∈ N. Тогда количество цифр q в десятичной записи числа n вычисляется по формуле

q=[log(10,n)]+1.

Доказательство. Если натуральное число состоит из q цифр, то оно ограничено снизу наименьшим q-значным числом и строго ограничено сверху наименьшим (q+1)-значным числом. Наименьшее q-значное число равно 10^(q-1), а наименьшее (q+1)-значное число равно 10^q. То есть верно следующее двойное неравенство:

10^(q-1) ≤ n ≤ 10^q

Применим логарифмическую функцию по основанию 10 ко всем частям двойного неравенства:

q-1 ≤ log(10,n) ≤ q

Знак сохранился ввиду того, что основание логарифмической функции больше 1 и она строго монотонно возрастающая на всей области определения.

Обратимся к определению функции антье (нижняя целая часть числа):
для любого действительного числа x его нижняя целая часть — это такое наибольшее целое число m, что выполняется условие:

m ≤ x ≤ m+1

Перепишем наше равенство в эквивалентном виде:

q-1 ≤ log(10,n) ≤ (q-1)+1

Видно, что оно точно совпадает с определением функции антье, где роль x играет log(10,n), а роль целого числа m играет (q-1).
Следовательно, по определению:

[log(10,n)]=q-1 <=> q=[log(10,n)]+1

Тоерема доказана.