Телеграм канал «Математика не для всех»

Тайная математика океанских волн: как «идеальные» гряды превращаются в хаос Почему ровная гряда волн внезапно распадается, хотя трение почти нулевое? Этот вопрос десятилетиями раздражал физиков и математиков. За окном кабинета Альберто Масперо в Триесте бора срывает волны из бухты и уводит их, будто назад, в море. Через какое-то время поверхность странно выравнивается. Красивое зрелище оказывается подсказкой к большой истории о том, как строгие уравнения уступают место реальности — и как реальность, в конце концов, удаётся загнать обратно в уравнения. Движение воды без вязкости описывают уравнения Эйлера. На бумаге всё просто: знай положение и скорость каждой «капли» — и предсказывай будущее сколько угодно далеко. На деле это иллюзия. Даже самый «аккуратный» режим — волны Стокса, бегущие ровными рядами без изменения формы, — долго не поддавался выводу из первых принципов. Казалось очевидным, что такие волны устойчивы к малым толчкам, ведь в море мы их постоянно наблюдаем. Но ещё в 1967 году эксперименты Т. Брука Бенджамина и Джима Фейра показали обратное: волны срываются. В 1995-м математики строго вывели эту нестабильность из уравнений Эйлера, однако осталась главная загадка — какие именно возмущения губительны, а какие нет. Ответ начал вырисовываться в 2011 году, когда Бернард Деконинк и Кэти Оливерас систематически «подталкивали» идеальную гряду волнами разной частоты. Интуиция подсказывала одно: низкие частоты опасны, высокие — почти безвредны. Компьютер показал совсем иную картину. По мере роста частоты устойчивость и неустойчивость чередовались бесконечными «окнами». Учёные нарисовали на частотной оси архипелаг из «островов» разрушения и предположили, что он тянется до бесконечности. Гипотеза выглядела смело и требовала железного доказательства. Задачу подхватила группа Масперо в Триесте — вместе с Паоло Вентурой, Массимилиано Берти и Ливией Корси. Они переписали проблему в терминах компактных матриц, где одна ключевая величина определяет судьбу волны: если она ноль — возмущение не разрастается, если положительна — нестабильность неизбежно накапливается. Для первой группы «островов» эту величину удалось вычислить вручную — ценой 45 страниц выкладок. Затем исследователи вывели общую формулу и посчитали на компьютере первые два десятка «островов»: каждый раз получался «плюс», то есть разрушение. Намечалась простая закономерность, но закономерность — ещё не теорема. В этот момент подключилась экспериментальная математика в лучшем смысле. Дорон Цайльбергер применил алгоритмические методы к комбинациям, возникавшим в формуле, и прогнал расчёты на тысячи случаев. Результат подтвердил устойчивый рисунок, а затем было получено и полное доказательство: критическая величина никогда не обращается в ноль. Значит, «острова» действительно бесконечны, а чередование устойчивости и срыва заложено в самих уравнениях. Мы наконец знаем, какие типы возмущений неизбежно разрушат стоксову гряду, а какие она переживёт. Практический смысл этой карты огромен. Она показывает, как энергия перетекает между волнами и при каких условиях маленькие толчки способны разбудить крупномасштабный хаос. Она объясняет, почему кильватер лайнера долго «звенит» в море, а след каяка гаснет почти сразу, и почему редкие, но разрушительные аномальные волны возникают не «из ниоткуда», а из конкретных окон неустойчивости. А ещё это методологический прорыв: аккуратные численные гипотезы и строгое доказательство больше не конкурируют — они работают в связке и ускоряют путь от наблюдения к теореме. Впрочем, Масперо осторожен: достаточно ли одной этой математики, чтобы объяснить наблюдаемое затухание, не ясно. Но интуитивная картина становится ощутимой: есть режимы, где волна обречена умереть, даже если мир вокруг почти идеален, и есть режимы, где она живёт удивительно долго. Всё это — внутри тех самых уравнений Эйлера, записанных три века назад.

Логика молока Молочные продукты, которые мы производим с любовью и заботой о вас! Подписаться и узнать о них больше. Подписаться #реклама О рекламодателе

в статье Ковальджи-Канеля "Занятия по математике—листки и диалог" нашёл отличный пример красивого решения с ошибкой. Вставлю в дз к курсу по элементарной математике (найти ошибку). Deepseek и ChatGPT не справились, это прикольно.

Ищу желающих заполнять карточки товаров на ВБ! Работа полностью на удаленке с зп до150 000 рублей в месяц. Без опыта, нужен только телефон, занятость 3-6 часов в день. Всему обучат на бесплатном курсе и после возьму на работу: ✅ 3 дня уроков по 30 минут ✅ Домашки с проверкой и оплатой бонусами ✅ Плачу 10 тыс за каждую выполненную домашку Все кто пройдет курс, получат сертификат от школы с образовательной лицензией. ⚡ Набор заканчивается завтра. 👍 Для регистрации жмите кнопку "Зарегистрироваться": Зарегистрироваться #реклама 16+ course.wildmanager.ru О рекламодателе

Все правильно сделал!

Беспощадна к налёту, нежная к дёснам Самая совершенная технология Oral-B iO* в ассортименте Oral-B. Купить #реклама market.yandex.ru О рекламодателе

Мурмурация как динамическая топологическая сеть Мурмурация — уникальное природное явление, при котором тысячи птиц сбиваются в огромную стаю и ведут себя при этом как единый организм. Сжимаясь и разлетаясь, синхронно меняя направление, взмывая вверх или резко падая вниз, они образуют в небе причудливые, непрерывно меняющиеся фигуры. С математической точки зрения мурмурацию птиц можно рассматривать как объект изучения топологии движущих сетей. Ключевая модель здесь — постоянно меняющийся ориентированный граф. Вершины графа — это отдельные птицы. Ребро от вершин A к вершине B существует, если птица B находится в поле восприятия птицы A в данный момент. Важно, что связь несимметрична: птица A может видеть птицу B, но не наоборот, что делает граф ориентированным. Каждая птица поддерживает связь лишь с ограниченным числом ближайших соседей (обычно 5–7) — это её локальная топологическая окрестность. Критически важно, что взаимодействие определяется топологией, а не метрикой. Птица ориентируется не на фиксированный радиус, а на фиксированное число соседей, независимо от расстояния до них. Именно этот принцип обеспечивает устойчивость стаи при её растяжении или сжатии. Исследования показывают, что слаженные структуры мурмурации не возникают, если птицы используют метрический принцип, координируя движение только с теми, кто находится в пределах фиксированного радиуса. Несмотря на отсутствие центрального координатора, из этих локальных правил возникает глобальный порядок. Граф взаимодействий обладает свойствами сети «малого мира»: даже в стае из тысяч особей средняя длина пути между любыми двумя вершинами остается малой. Это обеспечивает почти мгновенное распространение информации: локальное возмущение за доли секунды передаётся по всей системе через цепочку соседей. Топологическая структура стаи остаётся устойчивой, даже когда её геометрическая форма — положение вершин в пространстве — радикально меняется. Стая может изгибаться, дробиться и сливаться, но её связность сохраняется. Таким образом, мурмурация — это реализация высокодинамичного графа, в котором простые локальные топологические ограничения порождают сложную глобальную топологию поведения.