Телеграм канал «Математика не для всех»

Математики перестали верить, что это возможно. Аспирант MIT доказал обратное

Представьте хаотическую систему, в которой обычный объект способен навсегда застрять на невероятно сложной фрактальной траектории.
А квантовая волна — не может.
Почему?

Ответ связан с преобразованием Фурье, фракталами и новым принципом неопределённости, доказательство которого математики годами не могли перенести в многомерный мир.

В какой-то момент участники специального семинара практически решили, что задача неприступна. Но спустя несколько лет аспирант Алекс Коэн нашёл неожиданную конструкцию — и доказательство состоялось.

Причём одним из ключей оказались неопубликованные заметки легендарного математика Жана Бургена.

Как фракталы связали квантовую механику, хаос и анализ Фурье — и почему это доказательство может оказаться гораздо важнее одной математической задачи?
Разбираемся в новой статье.

Нейрохирург из Пекина опубликовал доказательство гипотезы Круазе с использованием ChatGPT

Шаньму Цзинь, постдокторант и резидент нейрохирургии Пекинской объединённой медицинской коллегии, опубликовал препринт с доказательством гипотезы Круазе — задачи из численной линейной алгебры, остававшейся нерешённой с 2004 года.

Специального математического образования у Цзиня нет. По данным South China Morning Post, к этой задаче он пришёл во время работы над проблемой, связанной с ультразвуковым исследованием мозга. При подготовке доказательства Цзинь использовал ChatGPT 5.6 в 16-часовом автономном режиме.

На работу обратил внимание математик Корнельского университета Алекс Таунсенд. По его словам, 30 июля он также пытался решить гипотезу с помощью ChatGPT, но модель сообщила ему, что задача уже была решена тремя днями ранее.

Коды, исправляющие ошибки, проще всего описать с точки зрения того, какие ошибки они могут исправить. Например, код Адамара, использованный для зонда Mariner 9, отправленного к Марсу, кодировал каждый 6-битный пиксель в 32-битное кодовое слово таким образом, что исходный пиксель можно было восстановить, если при передаче было повреждено не более 7 бит.

Какова вероятность того, что поврежденный пиксель можно будет восстановить? Это зависит от вашей вероятностной модели. Предположим, что вероятность инвертирования каждого бита равна p и что ошибки независимы друг от друга.
(Независимы ли ошибки друг от друга, то есть если один бит инвертируется, то с какой вероятностью инвертируется следующий бит? Это зависит от контекста.)

Вычислить вероятность того, что инвертируются 7 или менее битов из 32, несложно. Это кумулятивное распределение биномиальной случайной величины. Следующий код на Python вернет вероятность k или меньшего количества успешных исходов из n попыток, каждая из которых имеет вероятность успеха p:
from scipy.stats import binom
print(binom.cdf(k, n, p))
Например, если вероятность того, что каждый бит перевернется, составляет 10%, то вероятность того, что перевернутся 7 или менее битов из 32, составляет 98,8%.

Однако это дает лишь нижнюю границу вероятности исправления ошибки. Если при передаче перевернутся восемь битов, мы не сможем с уверенностью сказать, какое кодовое слово было отправлено, но есть несколько наиболее вероятных вариантов. Нам придется гадать, но мы сузили круг возможных вариантов. При большем количестве перевернутых битов всегда есть шанс восстановить исходные данные. Тем не менее нижняя граница отражает большую часть вероятности восстановления.

Теперь предположим, что вам известна желаемая вероятность восстановления после ошибки и вам нужно определить, какое значение p она может выдержать. Например, кто-то может сказать, что ему нужна вероятность правильного восстановления пикселя 98,8 %, а вы можете возразить, что p должно быть меньше или равно 0,1. Это будет консервативный ответ, потому что, как уже говорилось выше, при p = 0,1 вероятность восстановления пикселя будет выше 98,8 %, хотя подсчитать, насколько выше, довольно сложно.

Вы можете найти p методом проб и ошибок или использовать более сложные математические методы для непосредственного вычисления p. Зная вероятность F, вы можете найти p таким образом, чтобы вероятность k успешных исходов из n испытаний вычислялась с помощью обратной функции регуляризованной неполной бета-функции.
from scipy.special import betaincinv
p = 1 - betaincinv(n - k, k + 1, F)
Вычисление F при заданных n, k и p может быть домашним заданием на вводном курсе по теории вероятностей. Для решения задачи p при заданных F, n и k потребуется либо численное программирование, либо специальные функции, так что это будет более сложная задача.

Подготовка к вступительным экзаменам в ШАД

120+ поступивших в ШАД. Преподаватели МГУ. Гарантия результата. Вы поступите в ШАД, магистратуру или мы зачислим Вас на следующий поток бесплатно

Узнать больше

#реклама 16+
shadhelper.com
О рекламодателе

Докажи эту теорему, не допускай ошибок

Последние месяцы часто появляются новости о том, что ИИ доказал или опроверг очередную математическую гипотезу или теорему. Самый частый пример — проблемы Эрдёша, которые долгое время оставались нерешёнными, но всё чаще закрываются усилиями нейросетей. А теперь предполагаемое влияние ИИ стало заметно и по числу новых публикаций в крупнейшем архиве научных публикаций и препринтов arXiv.org, которое стремительно растёт.

Подписывайтесь 👉 @techno_yandex

Легкий мнемонический способ запоминания значений тригонометрических функций

- Какая pазница междy математикой и наyчным коммyнизмом?
- В математике что-то дано и что-то тpебyется доказать. А в наyчном коммyнизме ничего не дано и все доказано.