Bulgaria NMO 2024, Problem 6

Через общую точку двух окружностей проводят всевозможные прямые, которые вторично пересекают эти окружности в точках A и B. Доказать, что ГМТ середин AB — окружность.

Задача подсказка. Дана парабола и точки A,B,C на ней так, что ее фокус является ортоцентром треугольника ABC. Тогда точка H лежит на вписанной окружности треугольника ABC.

Вопрос без картинки.
Как построить(с помощью геогебры) треугольник такой,что его ортоцентр лежит на его вписанной окружности?

Дана пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.

Из точки X провели касательные к параболе. Точки касания соединили отрезком и отметили его середину M. Доказать, что XM вертикальный (параллелен оси параболы).

// А родственником какого утверждения про окружность вы бы это назвали?

Точка H является ортоцентром треугольника ABC.

Даны две пересекающиеся окружности. Доказать, что длина отрезка BC не зависит от выбора точки A.

а кому это слишком просто — решите задачу Д.В.Прокопенко с устной олимпиады по геометрии 2010 года:

Серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС остроугольного треугольника АВС пересекают прямые АС и ВС в точках М и N. Пусть точка С движется по описанной окружности треугольника ABC, оставаясь в одной полуплоскости относительно АB (при этом точки A и B неподвижны). Докажите, что прямая MN касается фиксированной окружности.

можно считать, что всё это в качестве рекламы упомянутого семинара — вот, кстати, видеозапись: https://youtu.be/j-Z3-IfS8b4

Опять задача про @olympgeom-tochki-shaltaya-i-boltaya?anchor=tochka-shaltaya" target="_blank">Шалтая и Болтая. Закрашенный четырёхугольник является параллелограммом.

Пример, когда n=5 (прямые - это окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку)

Пример, когда n=4 (прямые - это окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку)

Давно у нас не было геометрии. И сегодня новая 40-градусная задачка из серии "Геометрия для всех"!

Вершины ломаной ABCD лежат на сторонах прямоугольника (см. рисунок). Все звенья ломаной равны, а два отмеченных на рисунке угла равны 40⁰. Чему равен угол CAD?